一般的に喪中はがきは、年賀状をやり取りされている方全員に送られる事が多いようですが、『ペットの喪中』については、まだ世間一般の方に広くご理解いただけていないのが現状です。
ですから、あなたの愛犬愛猫をよくご存知だった方やご理解のいただける方に限定して、送られてはいかがでしょうか？
受け取られる方によっては、「けしからん！」「非常識だ！」などと受け取られてしまう場合もあるようです。
特に仕事関係では喪中であっても年賀状を出される場合も多いので、特にお控えになられた方がよいと思います。

喪中はがきは、近親者に不幸があり、年賀欠礼することを前もってお知らせする挨拶状ですので、その他の内容（近況報告・特にお祝い事など）は書かないのが基本です。
一般的な喪中はがきの場合、書き出しのご挨拶が

喪中につき年末年始のご挨拶を謹んでご遠慮申し上げます

となるのですが、ここに『喪中』という言葉を使うと 受け手の印象が強くなってしまいますので

年末年始のご挨拶をご遠慮申し上げます

と、やんわりした年賀欠礼のご挨拶にしてはいかがでしょうか？
そして、本文中で年始をお祝いする気持ちになれない素直な気持ちをお伝えし、相手の方へのご挨拶を書き添えられてはいかがでしょうか？

また、主文に欠礼の挨拶を入れないでお葉書を出されてもいいかもしれません

他に相手の方へのメッセージや近況報告などがございます場合は、時期によりクリスマスカードや寒中見舞いはがきをお出しされるのもいいと思います。

• 10月向け
  • 紅葉の候
  • 仲秋の候（『仲秋 ちゅうしゅう』は、秋の半ば）
  • 秋冷のみぎり（『秋冷 しゅうれい』は、肌に秋の冷ややかさを感じる頃）
  • 錦秋の候（『錦秋 きんしゅう』は、紅葉が錦(にしき)の織物のように美しい秋）
• 11月向け
  • 落葉の候
  • 晩秋の候（『晩秋 ばんしゅう』は、秋の終わり頃）
  • 向寒のみぎり（『向寒 こうかん』は、寒さ・冬に向かう頃）
  • 暮秋の候（『暮秋 ぼしゅう』は、秋の暮れ、冬に向かう頃）
  • 季秋の候（『季秋 きしゅう』は、秋の末、晩秋）
• 12月向け（喪中はがきは、12月前半までに出しましょう。）
  • 初冬の候
  • 寒冷のみぎり
• その他
  • 1／7頃〜2/3頃まで寒中お見舞い申し上げます
  • 2／3頃〜2月末頃まで余寒お見舞い申し上げます